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Artículo
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Didactical Proposal For The Understanding Of
The Concept Of Fraction From The Fractal Perspective
Javier Orlando Ballén Novoa*
Wilson Ferney Pinzón Bernal**
Resumen
Durante el proceso académico de los estudiantes de primer semestre de
administración de empresas se ha logrado evidenciar múltiples falencias en las
nociones de su formación básica, uno de ellos el concepto de fracción. La
unidad de Ciencias Básicas del Centro Regional Zipaquirá de la Corporación
Universitaria Minuto de Dios, ha diseñado, implementado y analizado una
propuesta didáctica de enseñanza basada en la teoría de Ron Ritchhart, Mark
Church y Karin Morrison, con base en las llamadas “Rutinas de Pensamiento”. La
propuesta busca contribuir en la comprensión de la noción de fracción
utilizando como eje central, la geometría fractal, a partir de un proceso
investigativo de corte exploratorio – Experimental. Los resultados del
post-test son favorables y dependientes con el diagnóstico inicial, según lo
corrobora un test de comparación de muestras pareadas y una distribución
T-student de los puntos de dispersión relacionadas con las respuestas dadas por
los estudiantes en ambas pruebas. Además, los resultados obtenidos en la prueba
final, demuestran una efectividad en el asertividad de los estudiantes, lo cual
indica un desarrollo positivo en la comprensión del tema tratado.
Palabras clave: fracción, Geometría Fractal, Rutinas de Pensamiento, Propuesta Didáctica,
Zipaquirá
Abstract
During the academic process of
the first semester business administration students, it has been possible to
show multiple shortcomings in the notions of their basic training, one of them
the concept of fraction. The Basic Sciences unit of the Zipaquirá
Regional Center of UNIMINUTO has designed, implemented and analyzed a teaching
proposal based on the theory of Ron Ritchhart, Mark
Church and Karin Morrison, based on the so-called "Thought Routines".
The proposal seeks to contribute to the understanding of the notion of fraction
using fractal geometry as the central axis, from an exploratory-experimental
investigative process. The post-test results are favorable and dependent on the
initial diagnosis, as corroborated by a paired samples comparison test and a T-student
distribution of the dispersion points related to the answers given by the
students in both tests. In addition, the results obtained in the final test
demonstrate an effectiveness in the assertiveness of the students, which
indicates a positive development in the understanding of the topic covered.
Key words: fraction, Fractal
Geometry, Thinking Routines, Didactic Proposal, Zipaquirá.
Introducción
Una de las grandes dificultades que presentan las universidades hoy en
día es la falta de preparación inicial que tienen los estudiantes al ingresar a
las diferentes carreras universitarias. Los conocimientos previos que poseen
los estudiantes primerizos, no cumplen las expectativas mínimas que exigen cada
una de las asignaturas que integran los planes de estudio en los primeros
semestres académicos. Por esta razón, se ha generado un retroceso en el
desarrollo curricular de las mismas, debido a la nivelación que se realiza
producto de las deficiencias iniciales (Rodríguez, 2011, p.45)
De esta manera, el campo educativo ha tenido la obligación de desarrollar
nuevas técnicas y herramientas que contribuyan a la comprensión conceptual
(Campos, 2020, p.54). Ron Rithchhart, Mark Church y Karin Morrison, proponen en
su artículo titulado “hacer visible el pensamiento” diversos ejemplos de
enseñanza tomados de situaciones reales en clase, que le permiten al estudiante
explorar, sintetizar, organizar y profundizar ideas (Ritchhart, 2011, p.11).
Uno de los resultados más representativos que se logró evidenciar a
través del pretest o prueba diagnóstica es la incapacidad que tiene el
estudiante en explorar ideas y preconceptos, llevándolo a cometer errores de
entrada producto de la falta de conocimiento práctico y aplicativo que tienen
diversos conceptos en forma general.
Por tanto, como propuesta de enseñanza se ha decidido diseñar,
implementar y analizar una secuencia didáctica fundamentada en la primera fase
del paradigma planteado por Richtmann, acerca de la exploración y presentación
de ideas (Ritchhart, 2011, p.13), en torno a un tema fundamental en la
educación inicial matemática, como son los números fraccionarios.
La secuencia didáctica utiliza como eje central el concepto de fractal
definido como un objeto geométrico de dimensión fragmentada que posee autosimilaridad
(Dehouve, 2017, p.131). Los fractales son figuras abstractas que se pueden ver
reflejadas en diversas representaciones naturales y mediante el cual puede
utilizarse como puente para la compresión de los números fraccionarios. Es
demostrable que cuando un estudiante logra relacionar un concepto con el medio
que lo rodea, le permite agilizar el proceso de comprensión conceptual, dándole
argumentos sólidos que lo inducen a generar un espacio de exploración, creación
y análisis (Ciliberti, 1999, p.17)
El método propuesto por Richtmann, “Haciendo visible el pensamiento”,
busca la comprensión del conocimiento, a través de experiencias prácticas
basadas en la crítica, la reflexión, la creatividad y la capacidad de asombro
en los estudiantes (Gholam, 2017, p.14). Este tipo de metodología permite la
generación de nuevas ideas y promueve la participación activa del estudiante, a
partir de 21 estrategias de trabajo autónomo y dirigido llamadas rutinas de
pensamiento, subdividido en tres grandes ramas: presentación y exploración de
ideas, síntesis y organización de ideas y profundización de ideas (Ritchhart,
2011, p.13).
El concepto de fractal surge del descubrimiento de Riemann y Weierstrass
acerca del concepto de función continua sin derivada. Este concepto sirve como
modelo para explicar la complejidad de la naturaleza, según lo describe Benoit
B. Maldelbrot (1977-1982) en uno de sus artículos más reconocidos (Mandelbrot,
1983, p.9)
Los fractales son objetos geométricos de dimensión fraccionaria que se
caracterizan por su autosimilaridad, irregularidad, dimensión fraccionada, área
finita y perímetro infinito (Hristov, 2018, p.105).
La representación geométrica de un fractal se realiza mediante
iteraciones de un patrón fijo (Mandelbrot, 1967, p.636), entre los que se
destacan la curva de Koch y el triángulo de Sierpinsky (Roldughin, 2003,
p.824). La curva de Koch o copo de nieve inicia con un segmento lineal, el cual
se divide en tres segmentos de la misma longitud, de los cuales se extrae el
central y se reemplaza por dos segmentos de igual longitud, formando un ángulo
de 60 grados. Este proceso se repite indefinidamente en cada uno de los
segmentos (Dehouve, 2017, p.133).
El proceso metodológico
llevado a cabo es de tipo exploratorio semiexperimental. La propuesta se aplicó
a una muestra de 25 estudiantes entre los 17 y 30 años de edad de primer
semestre de administración de empresas con el fin de explorar los conceptos de
fracción, adición y sustracción de números fraccionarios. La propuesta duró
nueve horas repartidas en tres sesiones iguales, subdivididas en siete rutinas
de pensamiento:
1.
Mirar, pensar y preguntarse: En esta rutina de pensamiento los
alumnos fomentan la reflexión y el aprendizaje de cuestionamiento a través de
la interpretación de ayudas audiovisuales. Para esta rutina, se les proyecta un
video del Phd. Eduardo Saenz de Cabezón acerca del concepto de fractal y su
relación con la naturaleza. Como fuente de retroalimentación los estudiantes
realizan un collage de palabras claves y luego es socializado públicamente.
2.
Focalizar: En esta rutina el estudiante
describe, analiza, conjetura y readapta información nueva a través del análisis
de un objeto, mediante un proceso guiado y coherente. Para la realización de esta
rutina, el estudiante sigue el paso a paso en el diseño y creación del fractal
de Sierpinky, mediante un videoclip guiado. Al finalizar la actividad, los
estudiantes destacan públicamente características en cuanto a su forma, tamaño
y dimensión.
3.
Pensar, preguntarse y explorar: En esta fase el estudiante explora,
se cuestiona y piensa a través de experiencias prácticas y teóricas respecto a
un tema en específico. Para esta sesión los estudiantes construyen un fractal a
partir de varias iteraciones (Conjunto de Cantor), analizando los cambios de
área y perímetro a lo largo del proceso. Luego, construyen el triángulo de
Sierpinky con palillos de madera, identificando en cada iteración, porciones
divididas, autosimilaridad y dimensión fragmentada.
4.
Charla y Pizarra: En esta rutina el estudiante plasma
sus ideas en el tablero, de forma libre y autónoma. Aquí el aprendiz relaciona
el concepto de fracción con las iteraciones generadas tras la construcción del
triángulo de Sierpinky, identificando las operaciones básicas a través de
diversas preguntas.
5.
Tres, dos, uno, relacionar: En esta etapa los estudiantes
realizan una comparación critica entre lo aprendido y lo escuchado previamente.
Esta fase resulta crucial para el aprendizaje del estudiante porque le permite
relacionar el trabajo previo con el concepto de fracción, mediante el análisis
de un videoclip acerca de los números fraccionarios y sus operadores básicas.
6.
Puntos Cardinales: En esta rutina el estudiante
discute sobre las necesidades de un tema, pensando de manera crítica sobre
nociones del tema en cuestión. Aquí los estudiantes conforman grupos de trabajo
y realizan un infograma estructurado “EONS”, de forma tal que escriban lo que
les entusiasmó bajo la letra E, lo que les obsesionó, bajo la O, su necesidad
de mayor información bajo la letra N y sus sugerencias bajo la letra S.
7.
El
juego de las explicaciones: Finalmente en esta etapa los estudiantes reflexionan
en torno a un objeto. Para ello, diseñaron su propio fractal siguiendo un
patrón propio. Durante el proceso de creación, el estudiante identificó,
describió y analizó las variables involucradas, relacionándolos con los
conceptos vistos a lo largo del taller.
Los
resultados del diagnóstico evidencian dos situaciones, por un lado, el desconocimiento
total del tema respectivo, al dejar en blanco el espacio dispuesto para cada
respuesta y por otro lado la multiplicidad de errores, entre los que figuran,
la falta de análisis lógico en diversas situaciones cuantitativas, dificultades
procedimentales relacionadas con la simplificación de fracciones, operaciones
básicas entre otros. Aunque hay estudiantes que contestan correctamente, se
observa una tendencia a cometer errores, ya que existen falencias en conceptos
básicos como el reconocimiento de los conjuntos numéricos fundamentales.
Además, se desconocen reglas, axiomas y propiedades que gobiernan la coherencia
abstracta numérica, llevando al estudiante aumentar la probabilidad de cometer
un error a lo largo del proceso matemático.
Figura. 1: Resultados del diagnóstico: Número de estudiantes
vs Preguntas. El color representa las opciones de respuesta. Azul (Correcta),
Naranja (Incorrecta), Gris (No responde), Demás colores (Opciones
alternativas).
Para la
evaluación de la viabilidad de la propuesta, se practicó un post test de cuatro
preguntas. De la pregunta No. 1, relacionada con la representación gráfica de
fracciones se tiene que el 71% de los estudiantes contestaron correctamente al
enunciado y el resto incorrectamente, este último es debido a que no se tuvo en
cuenta el tamaño de las particiones. En cuanto a la pregunta No 2, se indaga el
operador suma, obteniendo un 41,7% de aciertos, un 20,8% en blanco, y un 37,5%
de desaciertos. En la tercera pregunta, respecto al concepto de fracción
equivalente, el 38% de los estudiantes contestó correctamente, el 29%
malinterpreto el cuestionamiento inicial, el 8% no respondió y en el 25% hubo
múltiples errores. Finalmente, en la última pregunta, se analiza el concepto de
área y perímetro fractal, donde el 45,8% de los estudiantes contestaron
correctamente y el 54,2% cometieron múltiples errores, este último debido al
mal conteo de las particiones.
Según los
resultados obtenidos, se observa que el estudiante identifica gráficamente el
concepto de fracción equivalente, pero no logra determinar la fracción
correspondiente. Por otro lado, se puede evidenciar que el 75% de los
estudiantes no logran completar correctamente la secuencia respecto al cuadrado
de Cantor en la pregunta No 4, aunque identifican la minimización del área y la
amplificación sucesiva de la sección transversal del fractal, a lo largo de las
múltiples iteraciones.
Se analizó
la correlación entre los resultados obtenidos en el Pre test y el Post test,
mediante un test de comparación de medias poblacionales dependientes a través
del entorno R versión 3.6.0 y una distribución de probabilidad T-Student, para
identificar el intervalo de confianza de los datos obtenidos.
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Figura. 2: Visualización del test por comparación de medias
poblacionales apareadas.
Efectivamente,
existe una relación entre las observaciones de las muestras, ya que los
resultados obtenidos por ambos cuestionarios se generaron a partir de los
mismos individuos bajo condiciones distintas. Según el test de comparación, la
distribución es normal, condición que se visualiza en los qqplot de la Fig No
3, ya que los puntos de dispersión se encuentran contenidos dentro de la banda
de confianza.
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Figura 3:
Representación gráfica de la distribución de probabilidad T-Student.
Finalmente, la
distribución T-Student arroja como resultado la existencia de una diferencia
significativa entre ambos resultados, siendo los del post test los de menos
dispersión con respecto a la banda de aserción, mostrando así, que hubo un
desarrollo favorable en los conceptos evaluados, siendo el intervalo de
confianza al 95% menor que 0.
Conclusiones
Los resultados obtenidos en el post
test son favorables porque se logra evidenciar un desarrollo en la comprensión
del concepto de fracción, tras la implementación de una propuesta didáctica de
tipo exploratoria. Con respecto al trabajo en cuestión, se logró evidenciar
mediante una distribución de probabilidad T-Student y un test de comparación de
medias pareadas que la correlación entre la prueba diagnóstica y el post test
es de tipo dependiente y que esta última posee puntos con baja dispersión,
respecto a la curva de asertividad. Este tipo de metodologías de corte transdisciplinar
le permite al estudiante interpretar, analizar y aplicar conceptos teóricos
abstractos, con el fin de generar estructuras basadas en la comprensión
conceptual.
Campos, F. D. C. (2020, 28 abril).
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** Magister. Corporación
Universitaria Minuto de Dios -UNIMINUTO.
Zipaquirá, Colombia. ORCID. https://orcid.org/0000-0003-4600-2653. Email. jballennova@uniminuto.edu.co. Google académico. http://scholar.google.es/citations?user=gHF2-FQAAAAJ&hl=es
*** Magister. Corporación
Universitaria Minuto de Dios -UNIMINUTO.
Zipaquirá, Colombia. ORCID. https://orcid.org/0000-0002-6803-7323. Email. wilson.pinzon@uniminuto.edu.co. Google académico. https://scholar.google.com/citations?user=j2dHssgAAAAJ&hl=es
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